Acest articol face parte dintr-o serie dublă de articole care vor privi integrarea şi derivarea. Derivarea , este deosebit de utilă la studierea funcţiilor. Conform definiţiei, derivata unei funcţii este egală cu raportul dintre creşterea funcţiei către creşterea argumentului. Aşa cum creşterea, se notează cu delta , derivata unei funcţii y(x) se va nota cu frac{partial y}{partial x } sau cu oricare din simbolurile care manifestă creşterea funcţiei către creşterea argumentului. În general , după cum ştim o funcţie se notează cu f(x). Derivata acestei funcţii poate fi exprimată şi ca fiind egală cu tangenta unghiul format de tangenta la acest grafic în punctul căutat(revenim mai tîrziu asupra acestui punct).De altfel în general , derivata unei funcţii f(x) se notează cu f’(x) (cu apostrof).

Dacă luăm creşterea argumentului(x) ca fiind foarte mică, şi , admitem , că creşterea acestei funcţii este egală cu Delta x unde Delta x to 0 (delta x, tinde la zero) atunci derivata acestei funcţii va fi egală cu frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}

Explicaţie: Din valoarea funcţiei în x+dx se scade valoarea funcţiei în x(astfel calculîndu-se creşterea funcţiei) şi se împarte la creşterea argumentului(care este, normal dx).

Pentru a obţine o eroare cît mai mică la calcularea derivatei , creşterea argumentului se ia ca fiind foarte mică(infinitezimală) .Astfel formula lui  Lagrange spune că derivata funcţiei este egală cu:

f'(x)=lim_{Delta xto 0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}

În continuare vom lua drept exemplu o funcţie liniară pe care o vom deriva.

Fie f(x)=2x .

f(x+Delta x)=2*(x+Delta x)=2x+2Delta x

f(x)=2x

Aplicăm formula lui Lagrange:

lim_{Delta xto 0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=frac{2x+2Delta x-2x}{Delta x}=frac{2Delta x}{Delta x}=2

Rezultă că derivata acestei funcţii este o constantă, şi este egală cu 2.

Să derivăm o altă funcţie liniară. Fie f(x)= -3x+1

f(x+Delta x)=-3(x+Delta x)+1=-3x-3Delta x +1

f(x)=-3x+1

Conform regulii:

lim_{Delta xto 0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=frac{-3x-3Delta x +1-(-3x+1)}{Delta x}=frac{-3Delta x}{Delta x}=-3

Se observă că derivata funcţiei liniare este egală cu panta acesteia. O funcţie de forma f(x)=ax+b are derivata egală cu a.În general există reguli de derivare pentru a nu folosi regula de mai sus(mai ales că devine complicată pe măsură ce avansăm ) care ne simplifică procesul de derivare.(vor fi prezentate mai jos într-un tabel).

Să derivăm o funcţie de gradul doi.

Fie f(x)=x^2-2x+1

lim_{Delta xto 0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}==frac{(x+Delta x)^2-2(x+Delta x)+1 -(x^2-2x+1)}{Delta x}=frac{x^2+2xDelta x +Delta x^2 -2x-2Delta x -x^2+2x-1}{Delta x}=

=frac{2xDelta x +Delta x^2-2Delta x}{Delta x} Prin simplificare cu dx obţinem =2x-2+Delta x şi deoarece dx tinde la 0 f'(x)=2x-2

O funcţie de tipul f(x)=x^2-3x+1 derivată va fi egală cu f'(x)=2x-3 iar funcţia g(x)=4x^2-x+2 derivată va fi egală cu g'(x)=8x-1

Ca să nu ne extidendem prea mult, vă prezint aici regulile de derivare pentru diverse funcţii.

Tabelul derivatetabel derivate2
Va urma..