Rădăcina polinoamelor cu gradul mai mic sau egal ca 4.(articol solicitat)

În rezolvarea problemelor avem nevoie adesea de rădăcinile polinoamelor.Astfel putem stabili un şir de date care ne ajută într-o direcţie sau alta.Rădăcina unui polinom este valoarea argumentului pentru care polinomul se transformă în 0.

Polinoamele se clasifică după grad. Gradul Celui mai mare termen este şi gradul polinomului

De exemplu polinomul :

este de gradul 3.

Un lucru important de memorat este că numărul de rădăcini ale unui polinom coincide sau este mai mic decît gradul polinomului.

Astfel,  un polinom de gradul 3 poate avea fie trei , fie două, fie o rădăcină. Polinoamele cu gradul impar au neapărat o rădăcină (vom demonstra ulterior). Polinoamele cu grad par pot să se lipsească de rădăcini.

În continuare voi prezenta metode de găsire a  rădăcinilor polinoamelor atît în mulţimea numerelor reale cît şi în mulţimea numerelor complexe.

Polinomul de grad I.

Forma generală:

Rădăcina:

Cazuri particulare :

b=0 rădăcina x=0

Polinomul de gradul II:

Forma generală :

Rădăcini:

Unde   unde este determinantul ecuaţiei

Menţionez că un determinant negativ indică faptul că ecuaţia de gradul 2 nu are soluţii în R.(deoarece trebuie să extragem radical din delta care este negativ)

Un determinant egal cu zero(nul) indică faptul că ecuaţia are doar o soluţie.

Determinantul pozitiv aduce după sine, 2 soluţii ,numărul maxim pentru ecuaţia de gradul doi.

Ecuaţia de gradul doi cu determinantul zero , de exemplu:

sau sau are o proprietate deosebită.

Pe lîngă faptul că are o singură soluţie ea poate fi restrînsă sub forma unui sume la pătrat :

sau

Graficul funcţiilor determinate de ecuaţii de gradul doi cu determinantul nul arată aşa:

Ele intersectează axa Ox într-un singur punct.

Ecuaţia de gradul II cu determinant negativ:

Drept exemplu să luăm ecuaţia

Determinantul acestei ecuaţii este

Spunem că ecuaţia nu are soluţii în R. Are însă soluţii în mulţimea numerelor complexe.

Ştiind că în mulţimea numerelor complexe constanta şi prin urmare că scriem că

Acum putem extrage uşor radicalul din determinant.

Cele două soluţii ale acestei ecuaţii vor fi

şi iar prin simplificare

________________________________________________________________________________________