Mi-au fost propuse cu ceva timp în urmă spre rezolvare 2 exerciţii.Astăzi am mai primit unul.Acestea sunt ele:
Sa se determine a si b ,numere naturale care verifica ecuatia:
2.Comparaţi numerele a şi b.
3.Găsiţi numerele naturale de două cifre care verifică relaţia:
Rezolvare:
Exerciţiul 1.
Ştiind că 8 poate fi scris ca 2 la puterea a 3-a:
Rescriem exerciţiul înlocuid 8 la puterea a+b cu ceea ce-am primit mai sus
Amplificăm cu 2 primul şi al treilea termen din stînga iar pe cel din mijloc îl rescriem sub altă formă
Înmulţim cu doi partea stîngă şi partea dreaptă a ecuaţiei:
Grupăm primul termen cu ultimul şi scoatem factorul comun în faţa parantezei:
Scădem cîte o unitate din fiecare parte a egalităţii
Din nou,scoatem factorul comun în faţa parantezei:
Ştiind că 119 are ca divizori doar numerele 7 şi 17 :
De unde 2^3a=8 3a=3 a=1 iar 2*2^(3b)=16 iar 2^(3b)=8 b=1.Prima pereche va fi a=1 b=1
Ecuaţia nu are soluţii naturale.
Răspuns : a=1 b=1
Exerciţiul 2.
În loc de 64^15 vom scrie (2^6)^15=2^90 ceea ce este identic cu ce-am avut la început.În loc de 27^30 voi scrie (3^3)^30=3^90
În penultima paranteză avem 3^3 nu 2^3.Eroare mecanică.
Din a doua paranteză voi extrage factorul comun,5^42
Comparînd 27^42 cu 25^42 realizăm că primul este mai mare deci a>b.
Exerciţiul 3.
Se observă că exponentul lui x reprezintă o progresie aritmetică,adică fiecare exponent se obţine din cel precedent adunat cu 4.Pentru că avem un produs de puteri cu aceiaşi bază (x) vom aduna exponenţii:
Formula pentru progresia aritmetică spune că suma din partea stîngă a egalităţii este:
Simplificînd prin 4:
De unde extragem radicalul şi obţinem
Pentru că s-au cerut ca x să fie natural şi să fie de două cifre conchidem că această ecuaţie nu are soluţie.