Метро:
Метро всего две ветки (красная и синяя), которые пересекаются на Центральном Вокзале (станция Termini). Есть еще зеленая линия метро, которая идет из/до аэропорта Фьюмичино, но катаясь по центру, вы ей пользоваться скорее всего не будете. Проезд в метро стоит 1,5 Евро (это цена любого билета на общественный транспорт в Риме, который будет действителен в течение полутора часов, но цены могут со временем меняться, поэтому уточняйте актуальную цену в комменариях). Вот карта метро Рима
Вход в Метро отмечен таким вот значком:
На станции Термини - там где ветки пересекаются - много простых и понятных указателей, при помощи которых легко выбрать правильное направелние. Это очень просто, не заблудитесь точно. Прямо на полу есть наклейки со стрелками - "линя Б, синяя, конечная станция следования поезда Laurentina, если хотите в Колизей, то он по дороге, вам сюда". Я же говорю, все очень просто.
Вот так например синим отмечены станции, которые проезжает поезд по пути к конечной. Серым - станции которые на той же линии но в другом направлении. Самолетик - станция где можно пересесть на линию, которая едет до аэропорта. Все логично. 
Покупаете билет заранее. При проходе через турнекет он компостируется. Спускаетесь на платформу. Время до прибытия следующего поезда указано в минутах.
Поезда изнутри выглядят как обычные поезда метро, а пассажиры - как обычные пассажиры.
Автобус:Проезд в автобусе также стоит 1,5 Евро. Один раз купив билет вы можете им пользоваться для проезда в метро, трамвае и автобусе в любой последовательности. Компостируете в первом виде транспорта, в который садитесь, после этого нигде компостировать не нужно. В автобусе вставляете билет вот в такую желтую штуку и ждете, когда она выплюнет билет с печатью обратно.
На остановках автобусов есть вот такие таблички. На них указаны линии, которые останавливаются на этой остановке и дальнейшие станции на линии. Название текущей остановки указано вверху а также отмечено рамкой в списке станций. В самом ватобусе на табло обычно указано только название конечной станции следования..
В самом автобусе билеты обычно не продаются. Хотя в некоторых есть автоматы, но они встречаются крайне редко, лучше на это не расчитывать (тем более такие автоматы в автобусах не дают сдачи, нужно ровно 1,5 евро бросать). В Риме лучше всего покупать билеты в табачных киосках (советую купить сразу несколько, на пару дней). Также билеты продабтся в автоматах на узловых станциях. В центре таких много. 
Разобраться в том, как они работают, не составляет особого труда. Там все предусмотрено для туристов и много всяких стрелочек с объяснениями.
Итог - городской транспорт в Риме удобный и относительно недорогой. Есть аозможность сэкономить - если вы приехали на несколько дней и планируете активно посещать музеи - советую вам купить Римскую Карту для туристов - она стоит 30 евро и дает право на посещение 2х музеев из списка бесплатно (остальные с хорошей скидкой), бесплатный проезд в общественном транспорте на три дня и еще много разных скидок (актуальность уточняйте в комментариях и на сайтах).
Читайте еще на эту тему:Что посмотреть в Риме за несколько часовКак добраться из аэропорта Фьюмичино в центр Рима