Быстрее всего будет добраться до центра на поезде (тем более, что расписание известно и его можно рассчитать). Как это сделать читайте здесь. Поезд едет ровно 31 минуту. Если вас трое или четверо, то можно взять такси. Времени займет минут 40-60. Как это сделать читайте там же.
На поезде доезжаете до Центрального вокзала Termini. Ищите значек метро - Большая белая буква М на оранжевом фоне (может на красном, зависит от вашего цветовосприятия).Спускаетесь в метро и едете до остановки "Colosseo" (Колизей) (карта метро Рима здесь). 
Выходите прямо возле Колизея, смотрите на Колизей, фотографируетесь и двигаетесь теперь уже пешком в обратном направлении в сторону Форума по Via dei Fori Imperiali. Понять куда идти очень просто - там по дороге тысячи туристов и куча развалин. Подниметесь на Капитолийский холм (он будет слева), потом мимо конной статуи Аврелия пройдете по лестнице Кордоната, потом направо на площадь Венеции. Площадь венеции вы сразу узнаете, там огромное белое сооружение (на фото ниже) и куча туристов. 
После этого, обогнув форму Траяна и еще немного полюбовавшись руинами, выходите на улицу Via Nazionale. По ней минут за 30 можно пешком дойти до вокзала, откуда вы опять уедете в аэропорт. По этой же дороге можете заняться шопингом (это единственный пункт где вам может понадобиться карта, весь остальной маршрут интуитивно очевиден – «идете за толпой»). Не переживайте, во-первых вы всегда можете спросить дорогу называя просто место куда хотите дойти - Колизей, Пьяцца Венеция, Термини (это вокзал), во-вторых, среди сотен туристов действительно очень многие говорят по-русски.Весь путь от Колизея до вокзала по этому маршруту составляет примерно 3 километра, на все это прогулочным шагом (учитывая фотографии на фоне руин, кофе и уточнение маршрута у таких же туристов) вы потратите примерно 2 часа. Возьмите заранее билеты на обратный экспресс до аэропорта (они продаются в газетных киосках перед входом на перрон). Поезд всегда отходит с платформы 23 или 24. Можете перед поездкой точно проложите маршрут по карте – центр Рима есть в трехмерном Гугле, так что можете его пройти пару раз дома - потренироваться.
Я бы посоветовал оставить немного времени и обязательно зайти в кафе по дороге. Выпить кофе и съесть какую-нибудь вкусную фигню. Как выбрать кафе – первое правило не заходите туда, где перед входом выставлены фотографии еды и меню на русском – это для туристов. Зайдите в какое-нибудь неприметное уютное кафе, туда, где можно показать пальцем на витрине то, что вы хотите заказать.
Зайти в Колизей и на Форум (там где руины) стоит 13 евро и займет больше 4 часов. Если у вас мало времени, то придется ограничится фотками снаружи. Карту и путеводитель на русском можно купить в любом месте по ходу описанного маршрута. Если летом – в родниках на улице вода питьевая. Про фотографии – по дороге вам встретится много чуваков в костюмах римских легионеров. Некоторые предлагают надеть костюм вам и сфоткаться – стоит фотография в костюме 5 евро, больше не давайте. А просто если хотите рядом, договаривайтесь заранее, а то потом не отвяжутся. Все сувениры можно найти даже в центре не дороже 1-2 евро. Если будет дождь, то к вам сами будут подходить продавцы зонтов и предлагать купить. Больше 5 евро не давайте.
При расчете времени до отправления в аэропорт помните, что почти на все рейсы регистрация начинается за 2 часа и прекращается за 40 минут до вылета. От станции поезда до терминала в аэропорту дорога займет минут 10. Экспресс до аэропорта почти никогда не опаздывает (метро может, автобусы тоже могут задерживаться). Рано утром в субботу и воскресенье при пустых дорогах и хорошем водителе от центра города до аэропорта можно доехать за 20-25 минут, в будние дни (а особенно утром и вечером в час пик) это может занять до полутора-двух часов. Читайте еще на эту тему:
Как добраться в центр Рима из аэропорта Фьюмичино (Леонардо да Винчи)
Как добраться из Рима в аэропорт на общественном транспорте